Совоподобие (гомотетия) - это преобразование плоскости или пространства, при котором все расстояния изменяются в одном и том же отношении k (коэффициент подобия). Основные свойства:
Содержание
Понятие совоподобия в математике
- Сохраняет углы между линиями
- Изменяет длины в k раз
- Сохраняет ориентацию фигур
Формулы преобразования подобия
| Тип преобразования | Формула |
| Гомотетия относительно начала координат | (x', y') = (kx, ky) |
| Гомотетия относительно точки (a,b) | (x', y') = (k(x-a)+a, k(y-b)+b) |
| Общее преобразование подобия | X' = kRX + T, где R - матрица поворота |
Пошаговый алгоритм построения подобных фигур
Выбор центра гомотетии
- Определите точку, относительно которой будет выполняться преобразование
- Для простоты можно выбрать начало координат
- В практических задачах часто используют характерные точки фигуры
Применение коэффициента подобия
- Измерьте расстояние от центра до каждой вершины
- Умножьте каждое расстояние на коэффициент k
- Отложите новые расстояния в тех же направлениях
Примеры преобразования подобия
| Исходная фигура | Коэффициент | Результат |
| Треугольник ABC | k = 2 | Треугольник A'B'C' в 2 раза больше |
| Квадрат со стороной 5 | k = 0.5 | Квадрат со стороной 2.5 |
| Окружность r=3 | k = 1.5 | Окружность r=4.5 |
Применение совоподобия в геометрии
Решение задач на подобие треугольников
- Признаки подобия по двум углам
- Признак подобия по двум сторонам и углу между ними
- Признак подобия по трем сторонам
Методы доказательства подобия
- Найти равные соответственные углы
- Проверить пропорциональность сторон
- Использовать свойства параллельных прямых
- Применить теоремы о подобии
Матричная запись преобразований подобия
| Компонент | Матричная форма |
| Масштабирование | S = [k 0; 0 k] |
| Поворот | R = [cosθ -sinθ; sinθ cosθ] |
| Полное преобразование | X' = kRX + T |
Практическое применение в компьютерной графике
Алгоритм масштабирования изображений
- Билинейная интерполяция
- Бикубическая интерполяция
- Метод Ланцоша
Этапы преобразования
- Определение центра преобразования
- Применение матрицы масштабирования
- Коррекция граничных эффектов
- Фильтрация результатов
Ошибки при работе с преобразованиями подобия
| Ошибка | Как избежать |
| Неучет центра преобразования | Явно задавать точку гомотетии |
| Путаница с направлением масштабирования | Проверять знак коэффициента |
| Игнорирование искажений | Использовать равномерное масштабирование |
